שבעה בנים, הסתברות, ומנהלי השקעות שמכים את המדד
מה הקשר בין שבעה בנים ברצף למנהל השקעות שמכה את המדד? מחשבה על הסתברות ועל המנצחים שאנחנו רואים.
בואו נדבר רגע על סטטיסטיקה והסתברות, כי בלי זה קשה להבין בכלל את הטענה.
מישהו שאל אותי לאחרונה. הוא סיפר שהוא מכיר משפחה שיש לה שבעה בנים ברצף, וזה נשמע לו לא כל כך הגיוני סטטיסטית. הוא שאל אותי מה דעתי ומה הסיכוי שדבר כזה יקרה.
אוקיי, סטטיסטיקה זה דבר שאני אוהב.
אז בדקתי.
מתחילים במשפחה אחת
בהנחה שיש לי ילד אחד, יש בערך 50% שהוא יהיה בן ו־50% שהוא יהיה בת.
אם יש לי שני ילדים, יש ארבע אפשרויות:
- בן ובן
- בן ובת
- בת ובן
- בת ובת
כלומר, לכל אפשרות יש סיכוי של 25%.
אם יש לי שלושה ילדים, יש כבר 8 אפשרויות.
ארבעה ילדים – 16 אפשרויות.
חמישה ילדים – 32.
שישה ילדים – 64.
ושבעה ילדים – 128 אפשרויות.
מתוך כל 128 האפשרויות הללו, רק אחת היא האפשרות שכל הילדים יהיו בנים.
כלומר, הסיכוי הוא 1 מתוך 128.
פחות מאחוז.
רצף אחד מתוך 128 אפשרויות
1 / 128לכל רצף מסוים של שבעה ילדים, בהנחת הסיכויים שבדוגמה.
עכשיו מגיעה שאלה מעניינת.
מה הסיכוי שיהיו לי בן, שתי בנות, שני בנים, בת, ואז בן?
שוב, פחות מאחוז.
למעשה, כל סדר ספציפי של שבעה ילדים הוא אחת מתוך 128 האפשרויות, ולכן לכל סדר כזה יש בדיוק אותו סיכוי.
הרי חייב לצאת משהו.
ולכן, אחרי שכבר נולדו שבעה ילדים, אין שום דבר מיוחד דווקא ברצף של שבעה בנים לעומת כל רצף אחר.
אם הייתה שכונה שלמה שלמשפחות בה יש שבעה בנים ברצף – זה כבר היה מאוד מוזר. אבל משפחה אחת? זה פשוט אחד המקרים האפשריים מתוך רבים.
מהמשפחה אל מנהל ההשקעות
כלפי מה הדברים אמורים?
נניח שיש לי משקיע, שבכל שנה יכול להכות את המדד או להפסיד לו. לצורך הדוגמה, נניח שהסיכוי שלו להכות את המדד הוא בדיוק 50%.
אם הוא היכה את המדד שנה אחת – הסיכוי לכך הוא 50%.
שנתיים ברצף – 25%.
שלוש שנים ברצף – 12.5%.
וכן הלאה.
אחרי שבע שנים ברצף, הסיכוי הוא:
1 מתוך 128.
יש אולי מקום להתחיל לחשוד שמדובר באדם מוכשר במיוחד.
ומה עם כל מי שלא הצליח?
אבל עכשיו נניח שלא משקיע אחד התחיל את המסלול, אלא 200 משקיעים.
אם כל אחד מהם פועל באקראי לחלוטין, עדיין הסטטיסטיקה אומרת שבממוצע בערך אחד או שניים מהם יסיימו שבע שנים רצופות של הצלחה.
אז אם בסוף התקופה אנחנו מסתכלים רק על שני המצליחנים ואומרים: "וואו, הם היכו את המדד שבע שנים ברצף!", אנחנו עלולים ליפול למלכודת סטטיסטית.
כי שכחנו את 198 האחרים שניסו ונכשלו.
להסתכל גם על מי שנשאר מחוץ לתמונה
בדוגמה האקראית בטור: שבע הצלחות רצופות, בסיכוי של 50% בכל שנה. התמקדות רק במנצחים מסתירה את שאר המשתתפים.
זו בדיוק הסיבה שצריך להיזהר מהסתכלות רק על המנצחים.
למתקדמים
עד עכשיו הנחנו שהסיכוי להכות את המדד בכל שנה הוא 50%.
אבל מה קורה אם למשקיע באמת יש יתרון?
נניח שהסיכוי שלו להכות את המדד בכל שנה הוא 79%.
במקרה כזה, הסיכוי להכות את המדד שבע שנים ברצף הוא בערך 19%.
כלומר, כמעט אחד מכל חמישה משקיעים כאלה יצליח לעשות זאת.
מרשים, אבל עדיין לא נדיר במיוחד.
עכשיו בואו נסתכל על תקופה של עשרים שנה.
ונגיד שאנחנו לא דורשים שלמות. מותר לו להיכשל בשנה אחת.
כלומר, מספיק שהוא יכה את המדד ב־19 מתוך 20 שנים.
גם במקרה הזה, ההסתברות היא בערך 6%.
זה כבר נשמע נדיר יותר.
אבל אם התחלנו עם 200 משקיעים, הסטטיסטיקה אומרת שאפשר לצפות לכ־12 משקיעים שיעמדו בקריטריון הזה.
האם זה מוכיח שהם גאונים?
לא בהכרח.
האם זה מוכיח שאין להם שום יתרון?
גם לא.
זה רק מזכיר לנו את אחד הכללים החשובים ביותר בסטטיסטיקה:
כשמסתכלים על מספיק אנשים, תמיד יהיו כמה בעלי תוצאות יוצאות דופן.
השאלה האמיתית היא לא האם מישהו הצליח.
השאלה היא האם הוא הצליח הרבה מעבר למה שהיה צפוי לקרות גם במקרה.
